Valore Efficace di una grandezza alternativa – caso sinusoidale

Consideriamo una grandezza periodica  x(t + T) = x(t) per ogni t

Si dice alternativa quella che si ottiene sottraendo la media sul periodo

xa(t) = x(t) – x* = x(t) – 1/T * S_[0,T] x(t) dt.

 

Se y(t) é alternativa, il valore efficace é definito da ye^2 = 1/T * S_[0,T] y^2(t) dt

e, se y é una corrente, il valore efficace ha il significato fisico seguente : é il valore

che dovrebbe avere una corrente continua per dissipare in una resistenza la stessa

energia sul periodo

R ye^2 * T = S_[0,T] R y^2(t) dt =>  ye^2 = 1/T S_[0,T] y^2(t) dt.

Se y(t) = yo cos (wt + f)      con w = 2pi/T

allora ye^2 = 1/T  S_[0,T]  yo^2 cos^2 (wt + f) dt =

= yo^2/T S_[0,T] [ 1 + cos (2wt + 2f) ]/2 dt =

= yo^2/(2T) * [ t + sin (2wt + 2f)/(2w) ]_[0,T] =

= yo^2 [ 1/(2T)* (T-0) + 1/(4 wT)  (sin (2wT + 2f) – sin (2w*0 + 2f ) ] =

= yo^2 * [ 1/2 + 1/(4*2pi) * (sin (4pi + 2f) – sin 2f ) ] =

= yo^2/2 + yo^2 * 1/(8pi) * 0 = yo^2/2

e, in definitiva,

ye = yo/rad(2) = yo/2 * rad(2)

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SOS Matematica

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