Una funzione f che verifichi la proprietà
f(x1*x2) = f(x1) + f(x2) con x1, x2 > 0
é un logaritmo in qualche base b.
Supponiamo che 1 sia nel dominio di questa funzione, allora
f(x1*1) = f(x1) + f(1)
f(1) = f(x1) – f(x1) = 0
e quindi
f(x1 * 1/x1) = 0
f(x1) + f(1/x1) = 0
f(1/x1) = – f(x1)
f(x1/x2) = f(x1 * 1/x2) = f(x1) + f(1/x2) = f(x1) – f(x2)
Allora
f(x + dx) – f(x) = f[(x + dx)/x]
[ f(x + dx) – f(x) ]/dx = f [ 1 + dx/x ]/dx
passo al limite per dx -> 0:
se f é abbastanza regolare da poter applicare la regola di De L’Hospital
f'(x) = lim_dx->0 1/x f'[ 1 + dx/x ]
e se f’ é continua in un intorno di 0,
f'(x) = f'(1)/x
Se, provvisoriamente, poniamo f'(1) = k
la nostra f(x) é la soluzione del problema di Cauchy del primo ordine
{ f'(x) = k/x
{ f(1) = 0
per cui f(x) = S_[1,x] k/u du = k ln x = ln x/(1/k)
Se adesso definiamo b in modo che risulti 1/k = ln b
f(x) = ln x/ln b = log_b (x).
Quindi : usualmente, tra le funzioni “regolari” ( per le quali le operazioni
che abbiamo svolto sono consentite ) quelle che “trasformano prodotti in somme”
sono i logaritmi.
In particolare l’entropia microscopica di Boltzmann é una di queste.
Infatti, essendo N contenuto in R+
ed essendo l’entropia una funzione estensiva [ se applicata a un sistema diviso in
n parti é la somma delle singole entropie, mentre il numero di stati, per la regola
delle scelte associate, é il prodotto dei numeri di stati dei sottosistemi ]
S(w1*w2) = S(w1) + S(w2) w1, w2 in N
per cui é la restrizione ad N di una funzione che soddisfa la proprietà
precedente e quindi esiste una costante k per la quale
S(w) = k ln w.
La costante k é la costante di Boltzmann kB.