Trovare una funzione f(x) che verifichi l’uguaglianza
f(x) + a f(1/x) = b x
con a e b numeri assegnati. Discutere la risolvibilità in termini di a e b.
Le equazioni funzionali devono essere risolte prevalentemente ad intuito.
Nel caso in esame operiamo nel modo seguente.
Scambiamo x e 1/x, con x =/= 0.
Troviamo f(1/x) + a f(x) = b/x
che equivale, per a=/= 0, a
a f(1/x) + a^2 f(x) = ab/x
da cui, sottraendo l’uguaglianza originaria data dalla traccia
a f(1/x) + f(x) = b x
seguirà (a^2 – 1) f(x) = b (a/x – x)
ovvero, se a =/= -1 e a=/= 1,
f(x) = b/(a^2 – 1) * (a/x – x).