In una classe di n alunni si organizza una gita il cui costo complessivo é S.
Se all’ultimo momento k alunni si tirano indietro e per compensare la loro quota gli
altri aggiungono ciascuno un importo pari a d, qual é la numerosità della classe ?
n sarà un intero positivo.
Se fossero andati tutti ognuno avrebbe pagato S/n.
Invece oguno dei restanti paga S/(n – k) oppure S/n + d
Pertanto S/(n – k) = S/n + d
con n > k e intero.
Algebricamente risulta, dal II Principio di Equivalenza,
S n = S (n – k) + d n (n – k)
d n^2 – d k n + S n – S k – S n = 0
e, in forma normale,
d n^2 – d k n – S k = 0.
Possiamo accettare solo la radice positiva e sperare che sia intera :
n = (k d + sqrt (k^2 d^2 + 4 S d k)/(2d) = k/2 + sqrt (k^2/4 + S k/d)
se é intero, altrimenti il problema é impossibile.
Esempio — la gita costa 1000 euro, 5 ragazzi non partecipano e gli altri pagano 10 euro in più.
Risulta allora che il numero iniziale era
n = 5/2 + sqrt (25/4 + 1000*5/10) = 2.5 + sqrt (6.25 + 500) = 2.5 + sqrt (506.25) =
= 2.5 + 22.5 = 25.