Trasformata di Legendre dell’esponenziale

Sia y = e^(ax), che é una funzione definita in tutto R ed ivi convessa, risultando

y’ = a e^(ax) e y” = a^2 e^(ax)

Allora Y(p) = max_x  ( px – e^(ax) )

 

px – e^(ax)     ha per condizione di crescenza

p – a e^(ax) >= 0.

Se a é positivo

e^(ax) <= p/a

ax <= ln p/a

x <= 1/a ln (p/a)

 

x* = 1/a ln p/a

Y(p) = p/a ln (p/a) – p/a =  p/a (ln (p/a) – 1)

 

Se a é invece negativo

a e^(ax) <= p

e^(ax) >= p/a

ax >= ln (p/a)

x <= 1/a ln (p/a)

 

Grazie alle due inversioni di segno l’espressione é la stessa.

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SOS Matematica

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