Sia y = e^(ax), che é una funzione definita in tutto R ed ivi convessa, risultando
y’ = a e^(ax) e y” = a^2 e^(ax)
Allora Y(p) = max_x ( px – e^(ax) )
px – e^(ax) ha per condizione di crescenza
p – a e^(ax) >= 0.
Se a é positivo
e^(ax) <= p/a
ax <= ln p/a
x <= 1/a ln (p/a)
x* = 1/a ln p/a
Y(p) = p/a ln (p/a) – p/a = p/a (ln (p/a) – 1)
Se a é invece negativo
a e^(ax) <= p
e^(ax) >= p/a
ax >= ln (p/a)
x <= 1/a ln (p/a)
Grazie alle due inversioni di segno l’espressione é la stessa.