Teorema di Wierstrass: enunciato ed esercizio svolto

Teorema di Weierstrass

Enunciato: 

Se f  designa una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora f ammette massimo M e minimo m nel suddetto intervallo, ossia esistono x1,x2in[a,b] tali che:

f(x1)f(x)f(x2) forallxin[a,b].

 

Problema:

Individua a quale delle seguenti funzioni è applicabile il teorema di Weierstrass nell’intervallo [-2,2], giustificando adeguatamente la risposta:

f(x)=frac1x+2

g(x)=frac1ex2

h(x)=frac1sinx+2

k(x)=frac1lnx2

È possibile trovare, per questa funzione, i valori di cui il teorema garantisce l’esistenza?

Soluzione:

Il teorema di Weierstrass è applicabile soltanto a funzioni continue in un determinato intervallo chiuso, in questo specifico caso l’intervallo risulta essere I=[-2,2]; è dunque necessario calcolare le condizioni di esistenza di ogni funzione e verificare che i valori di x nei quali la funzione non esiste non appartengano all’intervallo I.

f(x) non esiste in x+2=0 ossia in x=2, poiché questo valore rientra in I il teorema non è applicabile.

g(x) non esiste in ex2=0 ossia in x=ln2, poiché questo valore rientra in I il teorema non è applicabile.

h(x) risulta essere continua in tutto mathbbR, dato che la funzione seno è definita tra 1 e -1, e dunque è applicabile il teorema di Weierstrass.

k(x) non esiste in lnx2=0 ossia in x=e^2 ed in ogni x≤0 dato che il logaritmo naturale è definito esclusivamente per x>0; non risulta applicabile il teorema.

Il teorema di Weierstrass risulta dunque applicabile esclusivamente alla funzione h(x).

I valori di massimo e minimo assoluto presenti nell’intervallo possono essere calcolati senza l’ausilio delle derivate notando che la funzione h per

sinx=1 assume valore ⅓, per sinx=0 valore ½ e per sinx=-1 valore 1.

Il massimo coincide dunque con x=-1 ed il minimo con x=1.

 

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