Teorema di Weierstrass
Enunciato:
Se f designa una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora f ammette massimo M e minimo m nel suddetto intervallo, ossia esistono
Problema:
Individua a quale delle seguenti funzioni è applicabile il teorema di Weierstrass nell’intervallo [-2,2], giustificando adeguatamente la risposta:
È possibile trovare, per questa funzione, i valori di cui il teorema garantisce l’esistenza?
Soluzione:
Il teorema di Weierstrass è applicabile soltanto a funzioni continue in un determinato intervallo chiuso, in questo specifico caso l’intervallo risulta essere I=[-2,2]; è dunque necessario calcolare le condizioni di esistenza di ogni funzione e verificare che i valori di x nei quali la funzione non esiste non appartengano all’intervallo I.
Il teorema di Weierstrass risulta dunque applicabile esclusivamente alla funzione
I valori di massimo e minimo assoluto presenti nell’intervallo possono essere calcolati senza l’ausilio delle derivate notando che la funzione h per
sinx=1 assume valore ⅓, per sinx=0 valore ½ e per sinx=-1 valore 1.
Il massimo coincide dunque con x=-1 ed il minimo con x=1.