Teorema di Weierstrass
Enunciato:
Se f designa una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora f ammette massimo M e minimo m nel suddetto intervallo, ossia esistono $x_1,x_2 in [a,b]$ tali che:
$f(x_1)≤f(x)≤f(x_2)$ $forall x in [a,b]$.
Problema:
Individua a quale delle seguenti funzioni è applicabile il teorema di Weierstrass nell’intervallo [-2,2], giustificando adeguatamente la risposta:
$f(x)=frac{1}{x+2}$
$g(x)=frac{1}{e^x -2}$
$h(x)=frac{1}{sin x +2}$
$k(x)=frac{1}{ln x -2}$
È possibile trovare, per questa funzione, i valori di cui il teorema garantisce l’esistenza?
Soluzione:
Il teorema di Weierstrass è applicabile soltanto a funzioni continue in un determinato intervallo chiuso, in questo specifico caso l’intervallo risulta essere I=[-2,2]; è dunque necessario calcolare le condizioni di esistenza di ogni funzione e verificare che i valori di x nei quali la funzione non esiste non appartengano all’intervallo I.
$f(x)$ non esiste in $x+2=0$ ossia in $x=-2$, poiché questo valore rientra in I il teorema non è applicabile.
$g(x)$ non esiste in $e^x -2=0$ ossia in $x=ln 2$, poiché questo valore rientra in I il teorema non è applicabile.
$h(x)$ risulta essere continua in tutto $mathbb{R}$, dato che la funzione seno è definita tra 1 e -1, e dunque è applicabile il teorema di Weierstrass.
$k(x)$ non esiste in $ln x -2=0$ ossia in x=e^2 ed in ogni x≤0 dato che il logaritmo naturale è definito esclusivamente per x>0; non risulta applicabile il teorema.
Il teorema di Weierstrass risulta dunque applicabile esclusivamente alla funzione $h(x)$.
I valori di massimo e minimo assoluto presenti nell’intervallo possono essere calcolati senza l’ausilio delle derivate notando che la funzione h per
sinx=1 assume valore ⅓, per sinx=0 valore ½ e per sinx=-1 valore 1.
Il massimo coincide dunque con x=-1 ed il minimo con x=1.