Supponiamo che in n prove siano stati osservati k successi, k <= n.
Allora la migliore stima ( nel senso della massima verosimiglianza ) della probabilità p di successo
é precisamente p* = k/n.
Dimostrazione.
Preso p in [0,1] risulta
V(p) = Pr [ k successi in n prove, ps = p ] = C(n,k) p^k (1 – p)^(n-k)
ed essendo C(n,k) costante rispetto a p la condizione di crescenza é
C(n,k) d/dp [ p^k * (1 – p)^(n – k) ] >= 0
k * p^(k – 1) * (1 – p)^(n-k) + p^k * (n – k) *(1 – p)^(n-k-1) * (-1) >= 0
p^(k-1) * (1 – p)^(n-k-1) * [ k(1 – p) – p(n – k) ] >= 0
ed essendo i primi due fattori positivi o nulli per p in [0,1]
k – kp – np + kp >= 0
k – np >= 0
np <= k
p <= k/n
Per p = p* = k/n la V(p) smette di crescere e si ha quindi un massimo relativo
che, risultando V(0) = V(1) = 0, é anche assoluto.
La proporzione campionaria osservata é dunque la stima MV di una probabilità binomiale.