Stima di massima verosimiglianza di una probabilità binomiale

Supponiamo che in n prove siano stati osservati k successi, k <= n.

Allora la migliore stima ( nel senso della massima verosimiglianza ) della probabilità p di successo

é precisamente p* = k/n.

Dimostrazione.

Preso p in [0,1] risulta

 

V(p) = Pr [ k successi in n prove, ps = p ] = C(n,k) p^k (1 – p)^(n-k)

ed essendo C(n,k) costante rispetto a p la condizione di crescenza é

C(n,k) d/dp [ p^k * (1 – p)^(n – k) ] >= 0

k * p^(k – 1) * (1 – p)^(n-k) + p^k * (n – k) *(1 – p)^(n-k-1) * (-1) >= 0

p^(k-1) * (1 – p)^(n-k-1) * [ k(1 – p) – p(n – k) ] >= 0

ed essendo i primi due fattori positivi o nulli per p in [0,1]

k – kp – np + kp >= 0

k – np >= 0

np <= k

p <= k/n

 

Per p = p* = k/n la V(p) smette di crescere e si ha quindi un massimo relativo

che, risultando V(0) = V(1) = 0, é anche assoluto.

La proporzione campionaria osservata é dunque la stima MV di una probabilità binomiale.

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