La funzione di densità é fX(x) = k e^(-k x) con k > 0 e i dati a disposizione sono (x1 … xn).
Il nostro problema é trovare il valore di k che descrive meglio il campione.
La probabilità che i dati siano “proprio questi” é, per un fissato k,
TT_i:1->n k e^(-k xi) dxi = k^n[ TT_i:1->n e^(-k xi)] dx1 dx2 … dxn
ed é quindi massima se lo é k^n e^(-k S_i:1->n (xi) )
L’intervallo di crescenza é rappresentato dalle soluzioni di
n k^(n-1) e^(-k S_i:1->n (xi) ) + k^n e^(-k S_i:1->n (xi) ) * (- S_i:1->n (xi) ) >= 0
ovvero n – k * S_i:1->n (xi) >= 0
k <= n/S_i:1->n (xi)
essendo gli elementi del campione tutti positivi per la natura della variabile esponenziale.
Si ha un massimo per k* = 1/[S_i:1->n (xi) ]
Si può quindi concludere che il valore del parametro che conferisce la massima verosimiglianza
al campione osservato é k* = 1/ux ovvero il reciproco della media campionaria.
Operativamente, in MATLAB la sintassi é :
{ d = [x1 x2 … xn ];
{ k = inv(mean(d))