Stima di massima verosimiglianza del parametro di una distribuzione esponenziale

La funzione di densità é fX(x) = k e^(-k x) con k > 0 e i dati a disposizione sono (x1 … xn).

Il nostro problema é trovare il valore di k che descrive meglio il campione.

La probabilità che i dati siano “proprio questi” é, per un fissato k,

TT_i:1->n   k e^(-k xi) dxi =  k^n[ TT_i:1->n   e^(-k xi)] dx1 dx2 … dxn

ed é quindi massima se lo é k^n e^(-k S_i:1->n  (xi) )

L’intervallo di crescenza é rappresentato dalle soluzioni di

n k^(n-1) e^(-k S_i:1->n  (xi) ) + k^n e^(-k S_i:1->n  (xi) ) * (- S_i:1->n  (xi) ) >= 0

ovvero n – k * S_i:1->n  (xi) >= 0

k <= n/S_i:1->n  (xi)

essendo gli elementi del campione tutti positivi per la natura della variabile esponenziale.

Si ha un massimo per k* = 1/[S_i:1->n  (xi) ]

Si può quindi concludere che il valore del parametro che conferisce la massima verosimiglianza

al campione osservato é k* = 1/ux   ovvero il reciproco della media campionaria.

 

Operativamente, in MATLAB la sintassi é :

{ d = [x1 x2  … xn ];

{ k = inv(mean(d))

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