Vogliamo calcolare la somma S_n:0->oo 1/(n^2 + 7n + 12)
Sappiamo che é convergente perché é confrontabile con S_n:1->oo 1/n^2
che converge in quanto é una p-serie con p > 1.
Operiamo una decomposizione in fratti semplici sul termine generale
1/((n+3)(n+4)) = A/(n+3) + B/(n+4)
An + 4A + Bn + 3B = 1 per ogni n si scinde in
A + B = 0
4A + 3B = 1
per cui segue che
B = -A e 4A – 3A = 1 => A = 1 e B = -1
e la nostra serie diventa
S_n:0->oo (1/(n+3) – 1/(n+4))
fino all’indice N ne risulta la somma parziale SN data da
(1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5 ) + (1/5 – 1/6) + ….+
+ (1/(N+2) – 1/(N+3)) + (1/(N+3) – 1/(N+4))
( che ha la tipica forma a cannocchiale e perciò si chiama telescopica )
ed elidendo gli addendi con segno opposto si deduce infine
SN = 1/3 – 1/(N + 4)
e così S = lim_N->oo SN = 1/3 – lim_N->oo 1/(N+4) = 1/3 – 0 = 1/3.
Nota.
Ho voluto impostare la discussione con un esempio giusto perché si
capisse qualcosa. Per chi ha voglia di generalizzare si può dimostrare,
utilizzando lo stesso identico ragionamento ma con un pò di astrazione
in più, che
S_n:0->oo 1/((n+a)(n+b)) = 1/d S_k:0->d-1 1/(a+k)
essendo d = b – a.