Partiamo dalla serie geometrica
ao + ao q + ao q^2 + … + ao q^n + …
Se la serie converge a una somma finita S, ovvero se |q| < 1
allora ao (1 + q + q^2 + … + q^n + … ) = S
ao + ao q (1 + q + q^2 + … + q^(n-1) + … ) = S
ao + qS = S
S (1 – q) = ao
S = ao/(1 – q)
Ora S_k:1->oo k a^k = S_k:0->+oo k a^(k-1) a = a S_k:0->+oo d/da (a^k) =
= a S_k:0->oo d/da (a^k) = a d/da S_k:0->oo a^k = a d/da (1/(1-a) = a* (-1)* (-1) /(1-a)^2 =
= a/(1-a)^2 con |a| < 1
Nota. Ho usato la convergenza uniforme di S_n x^n in ogni compatto contenuto in [0,1[
per scambiare la serie con la derivata.