Somma della serie S_k:1->oo k a^k

Partiamo dalla serie geometrica

ao + ao q + ao q^2 + … + ao q^n + …

Se la serie converge a una somma finita S, ovvero se |q| < 1

allora ao (1 + q + q^2 + … + q^n + … ) = S

ao + ao q (1 + q + q^2 + … + q^(n-1) + … ) = S

ao + qS = S

S (1 – q) = ao

S = ao/(1 – q)

 

Ora  S_k:1->oo  k a^k = S_k:0->+oo k a^(k-1) a = a S_k:0->+oo  d/da (a^k) =

= a S_k:0->oo d/da (a^k) = a d/da S_k:0->oo  a^k = a d/da (1/(1-a) = a* (-1)* (-1) /(1-a)^2 =

= a/(1-a)^2   con |a| < 1

 

Nota. Ho usato la convergenza uniforme di S_n x^n in ogni compatto contenuto in [0,1[

per scambiare la serie con la derivata.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

SOS Matematica

4.6
SCARICA