Soluzioni di una equazione: esercizio svolto

Problema:

Dimostra che l’equazione $lnx=e^{-x}$ ha almeno una soluzione nell’intervallo (1,2).

Soluzione:

f(x)= ln(x)

g(x)= $e^{-x}$

Per ottenere almeno una soluzione nell’intervallo aperto (1,2) è necessario dimostrare che le due funzioni presenti nell’equazione siano continue in esso e passino entrambe per un ipotetico asse comune parallelo all’asse delle ascisse.

Continuità in (1,2):

Dato che f(x) è definita per x>0 e g(x) per tutto $mathbbR$, esse risultano entrambe continue nell’intervallo preso in considerazione.

Passaggio per un asse comune parallelo all’asse x:

Si calcolano i limiti agli estremi dell’intervallo per entrambe le funzioni

$li{m}_{xrightarrow{1}^{+}}f(x)=0^{+}$

$li{m}_{xrightarrow{2}^{-}}f(x)=ln2$

$li{m}_{xrightarrow{1}^{+}}g(x)=e^{-1}$

$li{m}_{xrightarrow{2}^{-}}g(x)=e^{-2}$

Poiché è rispettata la continuità per entrambe le funzioni e che $0^{+}<e^{-2}<e^{-1}<ln2$ è possibile notare che la funzione f(x) intersecherà almeno una volta la funzione g(x) in almeno un punto sull’asse γ parallelo all’asse delle ascisse tale che $e^{-2}<\gamma <e^{-1}$ dacché presenta un’immagine in un intervallo più ampio comprendente il secondo.

L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.