Problema:
Dimostra che l’equazione $ln x = e^{-x}$ ha almeno una soluzione nell’intervallo (1,2).
Soluzione:
f(x)= ln(x)
g(x)= $e^{-x}$
Per ottenere almeno una soluzione nell’intervallo aperto (1,2) è necessario dimostrare che le due funzioni presenti nell’equazione siano continue in esso e passino entrambe per un ipotetico asse comune parallelo all’asse delle ascisse.
Continuità in (1,2):
Dato che f(x) è definita per x>0 e g(x) per tutto $mathbb{R}$, esse risultano entrambe continue nell’intervallo preso in considerazione.
Passaggio per un asse comune parallelo all’asse x:
Si calcolano i limiti agli estremi dell’intervallo per entrambe le funzioni
$lim_{ x rightarrow 1^+} f(x)= 0^+$
$lim_{ x rightarrow 2^-} f(x)= ln2$
$lim_{ x rightarrow 1^+} g(x)= e^{-1}$
$lim_{ x rightarrow 2^-} g(x)= e^{-2}$
Poiché è rispettata la continuità per entrambe le funzioni e che $0^+<e^{-2}<e^{-1}<ln2$ è possibile notare che la funzione f(x) intersecherà almeno una volta la funzione g(x) in almeno un punto sull’asse γ parallelo all’asse delle ascisse tale che $e^{-2}<γ<e^{-1}$ dacché presenta un’immagine in un intervallo più ampio comprendente il secondo.
L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.
