Soluzioni di una equazione: esercizio svolto

Problema:

Dimostra che l’equazione $ln x = e^{-x}$ ha almeno una soluzione nell’intervallo (1,2).

Soluzione:

f(x)= ln(x)

g(x)= $e^{-x}$

Per ottenere almeno una soluzione nell’intervallo aperto (1,2) è necessario dimostrare che le due funzioni presenti nell’equazione siano continue in esso e passino entrambe per un ipotetico asse comune parallelo all’asse delle ascisse.

Continuità in (1,2):

Dato che f(x) è definita per x>0 e g(x) per tutto $mathbb{R}$, esse risultano entrambe continue nell’intervallo preso in considerazione.

Passaggio per un asse comune parallelo all’asse x:

Si calcolano i limiti agli estremi dell’intervallo per entrambe le funzioni

$lim_{ x rightarrow 1^+} f(x)= 0^+$

$lim_{ x rightarrow 2^-} f(x)= ln2$

$lim_{ x rightarrow 1^+} g(x)= e^{-1}$

$lim_{ x rightarrow 2^-} g(x)= e^{-2}$

Poiché è rispettata la continuità per entrambe le funzioni e che $0^+<e^{-2}<e^{-1}<ln2$ è possibile notare che la funzione f(x) intersecherà almeno una volta la funzione g(x) in almeno un punto sull’asse γ parallelo all’asse delle ascisse tale che $e^{-2}<γ<e^{-1}$ dacché presenta un’immagine in un intervallo più ampio comprendente il secondo.

 

L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.

chrome screenshot 2024 07 30 16 59 43 GMT+02 00

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

SOS Matematica

4.6
SCARICA