allora il prodotto dei loro fattoriali é minimo quando sono uguali o consecutivi.
I due numeri sono n e S – n.
Il prodotto dei loro fattoriali, P = n! (S – n)!
ha per variazione DP = (n+1)! * (S – n – 1)! – n! (S – n) !
e l’intervallo di crescenza discreto, DP > 0,corrisponde a
(n + 1)! (S – n – 1)! – n! (S – n)! > 0
(n + 1)! (S – n – 1)! > n! (S – n)!
(n + 1)!/(n!) * (S – n – 1)!/(S – n)! > 1
n + 1 > S – n
2n > S – 1
n > (S – 1)/2
Si registra quindi il minimo se n = (S – 1)/2 ( o per simmetria (S + 1)/2 ) se S é dispari
o per il primo intero successivo S/2 se S é pari.
Nota – confrontando S/2 con i suoi vicini immediati risulta infatti
[(S-2)/2] ! * [(S + 2)/2] ! > S/2 ! S/2 ! perché
(S/2 + 1)/(S/2 – 1) é maggiore di 1.