Consideriamo
FX(x) = Pr [ N(u,s^2) <= x ]
probabilità che una variabile X con distribuzione normale di media u e deviazione standard s
non superi x
Essa é pari a 1/(sqrt(2 pi) s ) S_[-oo, x] e^(-t – u)^2/(2 s^2) dt
Poniamo y =(t – u)/s => t – u = s y => t = u + s y => dt = s dy
per cui operando la sostituzione indicata si ottiene successivamente
Pr [ N(u, s^2) <= x ] = 1/(sqrt(2 pi) s) S_[-oo, (x – u)/s] e^(- y^2/2) s dy =
= 1/(sqrt(2 pi) s) * s S_[-oo, (x – u)/s] e^(-y^2/2) dy =
= 1/sqrt(2 pi) S_[-oo, (x – u)/s] e^(-y^2/2) dy =
= Pr [N*(0,1^2) <= (x – u)/s ] = F*X((x -u)/s).