Sia
{ xo numero reale assegnato
{ x(k+1) = a x(k) + b per ogni k
con a e b noti. Esprimere x(n) in forma diretta.
x 1 = a xo + b
x2 = ax1 + b = a(a xo + b) + b = a^2 xo + ab + b
x3 = ax2 + b = a(a^2 xo + ab + b) + b = a^3 xo + a^2 b + a b + b
A parte a^n xo notiamo b, b(1 +a ), b (1 + a + a^2) etc
ovvero b, b (a^2 – 1)/(a – 1), b (a^3 – 1)/(a – 1) etc
La nostra congettura é quindi che risulti x(n) = a^n xo + b (a^n – 1)/(a – 1)
Ovviamente deve essere a =/= 1 altrimenti si ha la classica progressione aritmetica con ragione b
e brutalmente x(n) = xo + (n-1) b.
Detto questo, procediamo alla verifica – o alla smentita – attraverso l’uso del principio di induzione
matematica.
Per n=1 x1 = a^1 xo + b(a^1 – 1)/(a – 1) = a xo + b*1 = a xo + b .
Sia ora vero per n generico.
Allora x(n+1) = ax(n) + b = a [ a^n xo + b (a^n – 1)/(a – 1) ] + b =
= a^(n+1) xo + b (a^(n+1) – a)/(a – 1) ] + b =
= a^(n+1) xo + b [ a^(n+1) – a)/(a – 1) + 1 ] =
= a^(n+1) xo + b * (a^(n+1) – a + a – 1)/(a – 1) =
= a^(n+1) xo + b * (a^(n+1) – 1)/(a – 1)
e quindi la tesi é provata : l’espressione esplicita cercata é
x(n) = a^n xo + b (a^n – 1)/(a – 1)