Problema:
Studia gli eventuali punti di singolarità della funzione $f(x)=lim_{x rightarrow +∞} frac{1}{1+|2 sin x-1|ⁿ}$.
Soluzione:
La funzione può essere divisa in due casi:
quando 2sinx-1≥0, ossia $frac{π}{6}+2kπ≤x≤frac{5π}{6}+2kπ, kin mathbb{Z}$, $f_1(x)=frac{1}{1+(2 sin x-1)ⁿ}$;
quando 2sinx-1<0, ossia $2kπ≤x<frac{π}{6} vee$ $frac{5π}{6}+2kπ<x≤2(π+kπ), k in mathbb{Z}$, $f_2(x)=frac{1}{1+(1-2 sin x)ⁿ}$.
Dato che $f_1$ ha denominatore sempre positivo non vi sono problemi, invece in $f_2$ vi sono problemi per $n$ dispari dato che il segno negativo verrebbe mantenuto e potrebbe portare il denominatore a 0.
Dunque per $f_2$ si ha che 1-2sinx≠-1 $rightarrow$ sinx≠1 $rightarrow x≠frac{π}{2}+2kπ, k in mathbb{Z}$; essa rappresenta una singolarità eliminabile.
Sempre nel caso $f_2$ quando $x=kπ, k in mathbb{Z}$, si ha che il segno di sinx è opposto per $kπ^+$ e $kπ^-$ e dunque vi è presente un punto di salto.