Problemino di dinamica

Un corpo assimilabile ad un punto materiale é soggetto durante il moto ad una forza resistente F = – k v

ed é animato da velocità iniziale vo. Se all’istante in cui v = vo/2 il corpo ha percorso una distanza d,

qual é il valore di k ?

 

Per la II legge della dinamica possiamo scrivere

m dv/dt = – k v            con v(0) = vo

dv/v = – k/m dt

ln |v| = – kt/m

v = C e^(-kt/m)

vo = C*1 => C = vo

 

v(t) = vo e^(-kt/m)

vo e^(-k T/m ) = vo/2

e^(-k T/m) = 1/2

 

Distanza percorsa : dx/dt = vo e^(-kt/m) con x(0) = 0

Integrando

x(t) = vo e^(-kt/m) : (- k/m) + C’

x(t) = C’ – m vo/k  e^(-k t/m)

0 = C’ – m vo/k =>  C’ = m vo/k

 

x(t) = m vo/k * (1 – e^(-k t/m))

Applicando la condizione intermedia si trova infine

d = m vo/k * (1 – e^(- kT/m) ) = m vo/k (1 – 1/2)

m vo/(2k) = d

k = m vo/(2 d)

e l’errore associato si può trovare con la formula del differenziale totale.

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