Se due grandezze omogenee e positive hanno somma costante, il loro prodotto é massimo se sono uguali.
Diciamo x + y = S e x y = P.
Naturalmente y = S – x e quindi 0 <= x <= S.
Allora risulta x(S – x) = P
Sx – x^2 – P = 0
x^2 – Sx + P = 0
Affinché x e y esistano, il discriminante di questa equazione deve essere non negativo
D = S^2 – 4P >= 0
P <= S^2/4
e questo é il massimo valore raggiungibile dal prodotto xy
Sostituendo
x^2 – Sx + S^2/4 = 0
(x – S/2)^2 = 0
x = S/2 e y = S – x = S – S/2 = S/2.