In una classe di venti alunni, verranno sorteggiate a caso 8 persone per partecipare ad un laboratorio di cucina e l’evento verrà ripetuto tre volte in identiche condizioni. Qual é la probabilità che Walter partecipi almeno ad un laboratorio ?
Per il singolo laboratorio, la probabilità che Walter sia tra i sorteggiati é
p = C(1,1)*C(N-1,n-1)/C(N,n)
scelta di 1 elemento da un gruppo che contiene solo quello e n-1 elementi dai restanti N-1
p = (N-1)!/[(n-1)!(N – n)!] * n!(N-n)!/N! = n/N
La probabilità che Walter NON sia sorteggiato per un dato laboratorio é quindi
q = 1 – n/N
e che non sia sorteggiato per k volte di seguito, dato il ripristino delle condizioni,
é q^k = (1 – n/N)^k.
Infine la probabilità richiesta é la probabilità che non accada che Walter non venga
sorteggiato k volte di seguito e quindi
Pr [E*] = 1 – (1 – n/N)^k.
Nel nostro esempio N = 20, n = 8, k = 3 per cui
Pr [E*] = 1 – (1 – 8/20)^3 = 1 – (1-2/5)^3 = 1 – (3/5)^3 = 1 – 27/125 = 98/125
che corrisponde al 78.4 %