Fra tutti i triangoli isosceli di perimetro fissato P, qual é quello di area massima ?
Se x é la misura base (x > 0)
L = (P – x)/2
Per il teorema di Pitagora
h^2 = L^2 – (b/2)^2 = (P – x)^2/4 – (x/2)^2 = (P^2 – 2 Px )/4
per cui
S = x/2 * 1/2 sqrt (P^2 – 2Px) = x/4 sqrt (P^2 – 2Px)
Si deve quindi cercare il massimo assoluto di
S (x) = 1/4 x sqrt (P^2 – 2Px)
in [0, P/2] dove l’espressione é definita in accordo al significato geometrico.
Questa grandezza ha valore positivo.
Cerco quindi il massimo del suo quadrato x^2/16 * (P^2 – 2Px)
o più facilmente ancora – rimuovendo le costanti ed eseguendo i prodotti – di
P^2 x^2 – 2 P x^3.
L’intervallo di crescenza é dato da
2 P^2 x – 6 P x^2 >= 0
2 P x ( P – 3 x ) >= 0
ed essendo x > 0
P – 3x >= 0
x <= P/3
Si trova pertanto un massimo relativo per x* = P/3,
che corrisponde al triangolo equilatero, essendo
L = (P – P/3)/2 = 2 P/3 * 1/2 = P/3 = b.
Calcoliamo ora i valori agli estremi dell’intervallo e confrontiamo
con il punto trovato.
S(0) = 0
S(P/3) = 1/4 * P/3 sqrt (P^2 – 2P*P/3) = P/12 * P/rad(3) = P^2/(12 rad(3))
S(P/2) = 1/4 * P/2 * 0 = 0
Dal confronto segue che il massimo trovato é assoluto
e inoltre rad(3)/4 * (P/3)^2 = P^2 rad(3)/36 = P^2/(12 rad(3)).
Il triangolo cercato é quindi quello equilatero.