Assegnata la parabola di equazione y = a – x^2 con a > 0 ed in particolare la porzione di essa situata nel semipiano superiore y > 0, vogliamo determinare le dimensioni del rettangolo di area massima che si può inscrivere nel segmento parabolico.
Sia y = k con 0 < k < a la retta che contiene il lato superiore, mentre quello ad esso parallelo si trova
sull’asse x. Allora h = |k – 0| = k
Per la base, invece, da a – x^2 = k
segue x^2 = a – k
le radici sono x1 = – sqrt(a – k) e x2 = sqrt (a – k).
Pertanto b = |x2 – x1| = 2 sqrt (a – k)
S = b h = 2 k sqrt (a^2 – k)
e possiamo trovare il massimo di S^2 = 4k^2 (a – k)
o più semplicemente di a k^2 – k^3 in [0, a]
S^2(0) = S^2(a) = 0 ai confini dell’intervallo.
La condizione di crescenza di S^2 é
d/dk (a k^2 – k^3) >= 0
2a k – 3 k^2 >= 0
ed essendo k > 0
2a – 3k >= 0
3k <= 2a
k <= 2/3 a
Si individua pertanto per k = 2/3 a un minimo relativo che – considerati i valori
ai confini dell’intervallo – é anche assoluto.
L’area massima é data da S^2_max = 4 * 4/9 a * a/3 = 16/27 a^2.
E quindi S_max = 4 a/(3 rad(3)) = 4/9 a rad(3).