Primitive ed asintoti: esercizio svolto

Problema:

Data la funzione f(x)=1x²sqrtx²1, determina la sua primitiva F(x) che ammette come asintoto l’asse x per xrightarrow .

Soluzione:

Si trovano le primitive F(x):

F(x)=intfracdxx²sqrtx²1

Si utilizza la sostituzione

x=secθ e dx=secθtgθdθ

F(θ)=intfracsecθtgθdθsec²θsqrtsec²θ1=

=intfracsecθtgθdθsec²θsqrttg²θ=

=intfracsecθtgθdθsec²θtgθ=

=intfracdθsecθ=

S=int_{}^{}cosθdθ=sinθ+c$

Sapendo che secθ=x è rappresentato da un triangolo rettangolo con ipotenusa pari ad x e base pari ad 1 è possibile dedurre che l’altezza del triangolo in questione abbia valore sqrtx²1 per il teorema di pitagora.

Sapendo che sinθ=fracaltezzaipotenusa si ha che F(x)=fracsqrtx²1x+c

L’asse x presenta equazione y=0 e dunque per essere asintoto di F(x) è necessario che il suo limite per xrightarrow sia pari a 0:

limxtoF(x)=0

limxtofracsqrtx²1x+c=0rightarrow1+c=0rightarrowc=1

La soluzione risulta dunque essere F(x)=fracsqrtx²1x+1

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SOS Matematica

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