Problema:
Data la funzione $f(x)=\frac{1}{x²sqrt{x²-1}}$, determina la sua primitiva F(x) che ammette come asintoto l’asse x per $x rightarrow -∞$ .
Soluzione:
Si trovano le primitive F(x):
$F(x)=int_{}^{}frac{dx}{x²sqrt{x²-1}}$
Si utilizza la sostituzione
$x=secθ$ e $dx=sec θ tgθdθ$
$F(θ)=int_{}^{}frac{secθ tgθ dθ}{sec² θ sqrt{sec² θ-1}}=$
$=int_{}^{}frac{secθ tgθdθ}{sec² θsqrt{tg²θ}}=$
$=int_{}^{}frac{secθ tgθdθ}{sec² θtgθ}=$
$=int_{}^{}frac{dθ}{secθ}=$
S=int_{}^{}cosθdθ=sinθ+c$
Sapendo che secθ=x è rappresentato da un triangolo rettangolo con ipotenusa pari ad x e base pari ad 1 è possibile dedurre che l’altezza del triangolo in questione abbia valore $sqrt{x²-1}$ per il teorema di pitagora.
Sapendo che $sinθ=frac{altezza}{ipotenusa}$ si ha che $F(x)=frac{sqrt{x²-1}}{x}+c$
L’asse x presenta equazione $y=0$ e dunque per essere asintoto di F(x) è necessario che il suo limite per $x rightarrow -∞$ sia pari a 0:
$lim_{x to -∞} F(x)=0$
$lim_{x to -∞}frac{sqrt{x²-1}}{x}+c=0 rightarrow -1+c=0 rightarrow c=1$
La soluzione risulta dunque essere $F(x)=frac{sqrt{x²-1}}{x}+1$