Primitive ed asintoti: esercizio svolto

Problema:

Data la funzione $f(x)=\frac{1}{x²sqrt{x²-1}}$, determina la sua primitiva F(x) che ammette come asintoto l’asse x per $x rightarrow -∞$ .

Soluzione:

Si trovano le primitive F(x):

$F(x)=int_{}^{}frac{dx}{x²sqrt{x²-1}}$

Si utilizza la sostituzione

$x=secθ$ e $dx=sec θ tgθdθ$

$F(θ)=int_{}^{}frac{secθ tgθ dθ}{sec² θ sqrt{sec² θ-1}}=$

$=int_{}^{}frac{secθ tgθdθ}{sec² θsqrt{tg²θ}}=$

$=int_{}^{}frac{secθ tgθdθ}{sec² θtgθ}=$

$=int_{}^{}frac{dθ}{secθ}=$

S=int_{}^{}cosθdθ=sinθ+c$

Sapendo che secθ=x è rappresentato da un triangolo rettangolo con ipotenusa pari ad x e base pari ad 1 è possibile dedurre che l’altezza del triangolo in questione abbia valore $sqrt{x²-1}$ per il teorema di pitagora.

Sapendo che $sinθ=frac{altezza}{ipotenusa}$ si ha che $F(x)=frac{sqrt{x²-1}}{x}+c$

L’asse x presenta equazione $y=0$ e dunque per essere asintoto di F(x) è necessario che il suo limite per $x rightarrow  -∞$ sia pari a 0:

$lim_{x to -∞} F(x)=0$

$lim_{x to -∞}frac{sqrt{x²-1}}{x}+c=0 rightarrow -1+c=0 rightarrow c=1$

La soluzione risulta dunque essere $F(x)=frac{sqrt{x²-1}}{x}+1$

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SOS Matematica

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