Problema:
Si calcoli il numero di soluzioni dell’equazione $x+y+z=7$, con $x,y,zin[0,3]\subset \mathbb{N_0}$.
Soluzione:
Per risolvere questa tipologia di quesito è opportuno determinare il numero di tutte le soluzioni possibili rimuovendo successivamente quelle soluzioni che non rispettano la limitazione data.
Il numero totale di soluzioni può esser calcolato, utilizzando alcune nozioni di calcolo combinatorio, tramite $C’_{3,7}=36$ ossia la combinazione con ripetizione di 3 elementi in 7 posti.
Per calcolare il numero di soluzioni non rispettanti i limiti imposti è necessario introdurre una variabile
$x’=x-4$, con $x’≥0$
sostituendo si ottiene:
x’+4+y+z=7 $\rightarrow$ x’+y+z=3 che, applicando il medesimo procedimento utilizzato in precedenza, presenta $C’_{3,3}=10$ soluzioni.
Proseguendo nel medesimo modo con
$y’=y-4$ e $z’=z-4$ si giunge alla soluzione del quesito:
Il numero totale di soluzioni dell’equazione data risulta essere $C’_{3,7}-3C’_{3,3}=6$.
2 thoughts on “Numero di soluzioni di equazioni diofantee con limitazioni: esercizio svolto.”
Mi stavo chiedendo se questa procedura si possa applicare anche al problema degli n dadi.
A quale problema ti riferisci? Non credo di averne sentito parlare, però ho utilizzato questo metodo imbattendomi in un problema di combinatoria durante una mia ricerca dilettantistica nella quale ho avuto necessità di verificare matematicamente che il numero di combinazioni delle rotazioni Rxy, Rxz, Ryz, ove ognuna di esse può essere ripetuta al massimo tre volte, vale 63; sicuramente c’erano vie più semplici per giungere alla soluzione, ma questa mi ha affascinata molto più di quelle già a mia conoscenza ed onestamente ne è valsa la pena sbattere il muso su quel problema per un paio di ore filate ed uscirne fuori con questa bellissima creatura.