Considerato ad esempio 14, i suoi divisori sono quattro : 1, 2, 7, 14.
Per il generico numero naturale, si prende la scomposizione in fattori primi
n = TT_k pk^e^k
dove TT é il simbolo di prodotto, pk é il k.mo fattore primo, e ek il suo esponente.
Poiché un fattore primo può non comparire il suo esponente può essere anche zero.
Ad esempio nella scomposizione di 14 non compare il 5, il cui esponente é 0.
Ora – nel costruire un qualsiasi divisore d di n – si devono moltiplicare tutti i pk,
ognuno dei quali avrà un esponente e’k che va da 0 a ek e può assumere quindi
1 + ek distinti valori. Per il principio di moltiplicazione associato alle scelte
multiple il numero di modi in cui si può costruire un divisore, e quindi il numero
di divisori, é D = TT_k ( 1 + ek ).
Se il numero n é primo, allora p1 = n e e1 = 1 per cui D = 1 + 1 = 2
e infatti gli unici divisori di n sono 1 e n.
E’ facile dedurre che un numero naturale ha un numero di divisori
dispari solo se é un quadrato : infatti D é dispari solo se gli 1 + ek sono tutti
dispari e allora gli ek sono tutti pari.
Terminiamo con un esempio.
Consideriamo 96 che si scompone come
2^5 x 3 : allora D = (1 + 5)*( 1 + 1) = 6 * 2 = 12
e infatti i divisori sono (1,2,3,4,6,8,12,16,24,32 48, 96)