dI = d^2 dm
Se adottiamo le tradizionali coordinate sferiche, d = r sin @ é la distanza dall’asse e @ va da 0 a pi.
dm = u dV = M/(4/3 pi R^3) * dr * rd@ * r sin @ dfi
Pertanto dI = 3M/(4 pi r^3) * r^2 sin^2(@) * r^2 sin(@) dr d@ dfi
e sommando su tutta la sfera con passaggio al limite
I = SSS_[sfera] dI =
= 3M/(4 pi R^3) * S_[0,2pi] dfi * S_[0, pi] (1 – cos^2(@) * sin @ d@ * S_[0,R] r^4 dr =
= 3M * 2pi /(4 pi R^3) * [cos^3(@)/3 – cos @]_[0,pi] * [r^5/5]_[0,R] =
= 3M/(2 R^3) * R^5/5 * (- 1/3 + 1 – 1/3 + 1) =
= 3/2 M/R^3 * 4/3 * R^5/5 = 2/5 M R^2
Nota. Ho usato il fatto che S_[0,pi] sin^2(@) * sin @ d@ =
= S_[0,pi] – (1 – sin^2(@) *(- sin @) d@ = S_[0,pi] (cos^2(@) – 1) d cos@ =
= [ 1/3 cos^3(@) – cos @)]_[0,pi]