Se L é la misura del lato obliquo e b quella della base valgono le relazioni
{ 2L + b = P
{ b/2 * sqrt (L^2 – (b/2)^2) = S
per cui L = (P – b)/2
b/2 * sqrt [ ((P – b)/2)^2 – b^2/4 ] = S
con b > 0
ed ancora
b^2/4 * [ P^2/4 – 2 Pb /4 + b^2/4 – b^2/4 ] = S^2
P^2 b^2/16 – Pb^3/8 = S^2
2P b^3 – P^2 b^2 + 16 S^2
ed infine
{ b^3 – P/2 b^2 + 8 S^2/P = 0
{ L = P/2 – b/2
{ h = 2S/b
Osservazioni e discussione
minimo assoluto in [0, P/2] *
3 b^2 – Pb = 0 => b = 0 V b = P/3
6b – P é negativo per b = 0 ( e non ci interessa )
ed é positivo per b = P/3
Condizione quindi perché esista soluzione in [0, P/2]*
é che risulti
(P/3)^3 – P/2 * P^2/9 + 8S^2/P < 0
-P^3/54 + 8 S^2/P < 0
8 S^2/P < P^3/54
S^2 < P^4/432
S < P^2/(12 rad(3))
l’uguaglianza vale per triangolo equilatero
*il lato obliquo deve essere maggiore di metà base perché sono ipotenusa e cateto di uno
stesso triangolo rettangolo.
Quindi (P – b)/2 > b/2
P – b > b
b + b < P
2b < P
b < P/2
Non discuto, anche se non sarebbe difficile, le condizioni per l’esistenza di due soluzioni.
Basta osservare che il polinomio a sinistra assume lo stesso valore positivo a o e a P/2
ed é 8S^2/P. Per cui il minimo trovato é assoluto nell’intervallo.