Misure dei lati di un triangolo isoscele con perimetro ed area noti

Se L é la misura del lato obliquo e b quella della base valgono le relazioni

{ 2L + b = P

{ b/2 * sqrt (L^2 – (b/2)^2) = S

per cui  L = (P – b)/2

b/2 * sqrt [ ((P – b)/2)^2 – b^2/4 ] = S

con b > 0

ed ancora

b^2/4 * [ P^2/4 – 2 Pb /4 + b^2/4 – b^2/4 ] = S^2

P^2 b^2/16 – Pb^3/8 = S^2

2P b^3 – P^2 b^2 + 16 S^2

ed infine

{ b^3 – P/2 b^2 + 8 S^2/P = 0

{ L = P/2 – b/2

{ h = 2S/b

Osservazioni e discussione

minimo assoluto in [0, P/2] *

3 b^2 – Pb = 0 =>  b = 0 V b = P/3

6b – P é negativo per b = 0 ( e non ci interessa )

ed é positivo per b = P/3

Condizione quindi perché esista soluzione in [0, P/2]*

é che risulti

(P/3)^3 – P/2 * P^2/9 + 8S^2/P < 0

-P^3/54 + 8 S^2/P < 0

8 S^2/P < P^3/54

S^2 < P^4/432

S < P^2/(12 rad(3))

l’uguaglianza vale per triangolo equilatero

 

*il lato obliquo deve essere maggiore di metà base perché sono ipotenusa e cateto di uno

stesso triangolo rettangolo.

Quindi (P – b)/2 > b/2

P – b > b

b + b < P

2b < P

b < P/2

 

Non discuto, anche se non sarebbe difficile, le condizioni per l’esistenza di due soluzioni.

Basta osservare che il polinomio a sinistra assume lo stesso valore positivo a o e a P/2

ed é 8S^2/P. Per cui il minimo trovato é assoluto nell’intervallo.

 

 

 

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SOS Matematica

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