In una serie di prove ripetute indipendenti ed identicamente distribuite ( Bernoulliane ) la distribuzione geometrica individua il numero della prova in cui si registra il primo successo, formalmente
Pr [ X = k ] = Pr [ k – 1 insuccessi & successo ] = Pr [ insuccesso ]^(k-1) * Pr [ successo ] =
= q^(k-1)*p
essendo q = 1 – p
La media é quindi
uX = Somma_k:1->oo k q^(k-1)*p = p Somma_k:1->oo k q^(k-1) =
p Somma_k:0->oo k q^(k-1) perché il termine con k = 0 é zero ;
pertanto tenendo conto della uniforme convergenza della serie di
potenze Somma_k q^k in ogni compatto contenuto in [0, 1[, risulta infine :
uX = p Somma_k:0->oo d/dq (q^k) = p d/dq Somma_k:0->oo q^k =
= p d/dq 1/(1 – q) = p [(-(-1)/(1-q)^2) ] = p*1/p^2 = 1/p.
Per la varianza avremo invece
var [X] = E[X^2] – uX^2 = [Somma_k:1->oo k^2 * q^(k-1) p] – 1/p^2 =
= Somma_k:1->oo (k^2 – k) p q^(k-1) + Somma_k:1->oo k q^(k-1) – 1/p^2
ed essendo nulli i termini corrispondenti a k = 0 si ha ancora
var [X] = p Somma_k:0->oo k(k-1) q^(k-1) + 1/p – 1/p^2 =
= p q Somma_k:0->oo d^2/dq^2 (q^k) + (p – 1)/p^2.
Qui si é osservato che il secondo addendo é stato già calcolato ed é 1/p
e inoltre d^2/dq^2 q^k = d/dq k q^(k-1) = k (k – 1) q^(k-2).
Ora d^2/dq^2 (1 – q)^(-1) = d/dq [ (-1) (1-q)^(-2) *(-1)] = d/dq (1 – q)^(-2) =
= -2 (1 – q)^(-3) *(-1) = 2/p^3
per cui risulta infine
var [X] = pq * 2/p^3 – (1 – p)/p^2 = 2q/p^2 – q/p^2 = q/p^2.