Media e Varianza di una distribuzione geometrica

In una serie di prove ripetute indipendenti ed identicamente distribuite ( Bernoulliane ) la distribuzione geometrica individua il numero della prova in cui si registra il primo successo, formalmente

Pr [ X = k ] = Pr [ k – 1 insuccessi & successo ] = Pr [ insuccesso ]^(k-1) * Pr [ successo ] =

= q^(k-1)*p

essendo q = 1 – p

La media é quindi

uX = Somma_k:1->oo  k q^(k-1)*p = p Somma_k:1->oo k q^(k-1) =

p Somma_k:0->oo k q^(k-1) perché il termine con k = 0 é zero ;

pertanto tenendo conto della uniforme convergenza della serie di

potenze Somma_k q^k in ogni compatto contenuto in [0, 1[, risulta infine :

uX = p Somma_k:0->oo  d/dq (q^k) = p d/dq Somma_k:0->oo  q^k =

= p d/dq  1/(1 – q) =  p [(-(-1)/(1-q)^2) ] = p*1/p^2 = 1/p.

Per la varianza avremo invece

var [X] = E[X^2] – uX^2 = [Somma_k:1->oo  k^2 * q^(k-1) p]    – 1/p^2 =

= Somma_k:1->oo (k^2 – k) p q^(k-1) + Somma_k:1->oo  k q^(k-1)  – 1/p^2

ed essendo nulli i termini corrispondenti a k = 0 si ha ancora

var [X] = p Somma_k:0->oo k(k-1) q^(k-1)  + 1/p – 1/p^2  =

= p q Somma_k:0->oo d^2/dq^2  (q^k) + (p – 1)/p^2.

Qui si é osservato che il secondo addendo é stato già calcolato ed é 1/p

e inoltre d^2/dq^2  q^k = d/dq  k q^(k-1) = k (k – 1) q^(k-2).

Ora d^2/dq^2 (1 – q)^(-1) = d/dq [ (-1) (1-q)^(-2) *(-1)] = d/dq (1 – q)^(-2) =

= -2 (1 – q)^(-3) *(-1) = 2/p^3

per cui risulta infine

var [X] = pq * 2/p^3 – (1 – p)/p^2 = 2q/p^2 – q/p^2 = q/p^2.

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SOS Matematica

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