Consideriamo I = S_[-a,a] f(x) dx.
Possiamo scrivere I = S_[-a,0] f(x) dx + S_[0,a] f(x) dx
Nel primo addendo poniamo t = -x, allora x = -t => dx = – dt
Inoltre x = -a => t = a e x = 0 => t = 0 per cui risulta
I = S_[a, 0] f(-t) (-dt) + S_[0,a] f(t) dt
e ancora
I = S_[0,a] f(-x) dx + S_[0,a] f(x) dx = S_[0,a] [ f(-x) + f(x) ] dx
Ora, se f(x) é dispari, f(-x) = – f(x) e
I = S_[0,a] [ – f(x) + f(x) ] dx = S_[0,a] 0 dx = 0
mentre se f(x) é pari, f(-x) = f(x) e quindi
I = S_[0,a] [ f(x) + f(x) ] dx = S_[0,a] 2 f(x) dx = 2 S_[0,a] f(x) dx.