Consideriamo l’equazione
A(k) x^2 + B(k) x + C(k) = 0
e vogliamo che risulti x2/x1 = r.
Poiché x2 = r x1
allora in base alle relazioni ordinarie tra radici e coefficienti possiamo scrivere
{ x1 + r x1 = – B(k)/A(k)
{ x1 * r x1 = C(k)/A(k)
ovvero
{ (1 + r) x1 = – B(k)/A(k)
{ r x1^2 = C(k)/A(k)
e quindi x1 = – 1/(1 + r) B(k)/A(k)
e ancora r * 1/(1 + r^2) B^2(k)/A^2(k) = C(k)/A(k)
Se risulta A(k) =/= 0 l’ultima eguaglianza equivale a
r/(1 + r)^2 B^2(k) = A(k) C(k)
e anche a
B^2(k) = (1 + r)^2/r * A(k) C(k)
e infine
B^2(k) – (1 + r)^2/r * A(k) C(k) = 0
I valori di k vanno quindi ricercati fra quelli che annullano il
“delta generalizzato”
Dg(k) = B^2(k) – (1 + r)^2/r * A(k) C(k)
il quale si chiama così perché, se le radici sono uguali (x2 = x1 e quindi r = 1)
si riduce a B^2(k) – (1+1)^2/1 A(k) C(k)
ovvero al delta ordinario
B^2(k) – 4 A(k) C(k) .