Il delta generalizzato – equazioni di secondo grado

Consideriamo l’equazione

A(k) x^2 + B(k) x + C(k) = 0

e vogliamo che risulti  x2/x1 = r.

Poiché x2 = r x1

allora in base alle relazioni ordinarie tra radici e coefficienti possiamo scrivere

 

{ x1 + r x1 = – B(k)/A(k)

{ x1 * r x1 = C(k)/A(k)

 

ovvero

{ (1 + r) x1 = – B(k)/A(k)

{ r x1^2 = C(k)/A(k)

 

e quindi  x1 = – 1/(1 + r) B(k)/A(k)

e ancora    r * 1/(1 + r^2) B^2(k)/A^2(k) = C(k)/A(k)

Se risulta A(k) =/= 0 l’ultima eguaglianza equivale a

 

r/(1 + r)^2 B^2(k) = A(k) C(k)

e anche a

B^2(k) = (1 + r)^2/r * A(k) C(k)

e infine

B^2(k) – (1 + r)^2/r * A(k) C(k) = 0

I valori di k vanno quindi ricercati fra quelli che annullano il

“delta generalizzato”

Dg(k) = B^2(k) – (1 + r)^2/r * A(k) C(k)

il quale si chiama così perché, se le radici sono uguali (x2 = x1 e quindi r = 1)

si riduce a B^2(k) – (1+1)^2/1 A(k) C(k)

ovvero al delta ordinario

B^2(k) – 4 A(k) C(k) .

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SOS Matematica

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