Geometria analitica, ellisse: esercizio svolto

Problema:

Considera l’ellisse di equazione fracx²4+fracy²3=1 e determina i punti di intersezione con la retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante passante per il fuoco di ascissa positiva.

Soluzione:

La posizione del fuoco di un’ellisse con i fuochi sull’asse delle ascisse è definita da F(±c;0) ove a²=b²+c² rightarrowc=pmsqrta²b²=pm1.

Dato che il fuoco richiesto presenta ascissa positiva esso sarà necessariamente il punto F(+1;0).

Poiché la retta passante per esso è parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, essa avrà il valore del coefficiente angolare coincidente con quello della suddetta bisettrice, ossia m=1.

La retta cercata è definita dall’equazione r:yyF=m(xxF)rightarrowr:y=1(x1)rightarrowr:y=x1.

Per ricavare i punti di intersezione della retta con l’ellisse è necessario mettere a sistema l’equazione dell’ellisse con quella della retta.

Γ:fracx²4+fracy²3=1

r:y=x1

Il sistema risulta dunque in (x;y)=(frac4±627,frac3±627).

 

L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.

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