Problema:
Considera l’ellisse di equazione $frac{x²}{4}+frac{y²}{3}=1$ e determina i punti di intersezione con la retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante passante per il fuoco di ascissa positiva.
Soluzione:
La posizione del fuoco di un’ellisse con i fuochi sull’asse delle ascisse è definita da $F(±c;0)$ ove a²=b²+c² $rightarrow c=pm sqrt{a²-b²}=pm 1$.
Dato che il fuoco richiesto presenta ascissa positiva esso sarà necessariamente il punto $F(+1;0)$.
Poiché la retta passante per esso è parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, essa avrà il valore del coefficiente angolare coincidente con quello della suddetta bisettrice, ossia $m=1$.
La retta cercata è definita dall’equazione $r: y-y_F=m(x-x_F) rightarrow r: y=1(x-1) rightarrow r: y=x-1$.
Per ricavare i punti di intersezione della retta con l’ellisse è necessario mettere a sistema l’equazione dell’ellisse con quella della retta.
$Γ: frac{x²}{4}+frac{y²}{3}=1$
$r: y=x-1$
Il sistema risulta dunque in $(x;y)=(frac{4±6√2}{7}, frac{-3±6√2}{7})$.
L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.
