Geometria analitica, circonferenza: esercizio svolto

 

Problema:

Determina le equazioni delle rette passanti per P(9;18) e tangenti alla circonferenza di equazione γ: x²+y²-8x-6y=0.

Infine, determina l’equazione della circonferenza simmetrica a quella data rispetto all’asse y=-2.

Soluzione:

Per trovare le rette passanti per il punto P e tangenti alla circonferenza è necessario trovare un insieme di rette generiche passanti per P e porle a sistema con l’equazione della circonferenza applicando la condizione di tangenza ∆=0.

 

{r:y=m(x9)+18, x²+y²8x6y=0, =0}

=(18m²+30m8)²4(m²+1)(81m²+216270m)=800+600m=0 rightarrowm=frac43

Si ha dunque che la retta tangente alla circonferenza risulta essere r:y=frac43(x9)+18, inoltre per costruzione è anche tangente alla circonferenza la retta passante per P x=9 dato che la circonferenza presenta raggio pari a cinque e centro in C(4;3).

 

Per determinare la circonferenza simmetrica all’asse y=-2 è opportuno riscrivere l’equazione della circonferenza data come (x4)²+(y3)²=5². Per ottenere la circonferenza richiesta è dunque necessario trovare un centro C’ tale che C(xc;2|d|)=(4;2|3+2|)=(4;7), ove d indica la distanza tra il centro C e la sua proiezione sull’asse y=-2.

Una volta trovato il punto C’ è possibile scrivere l’equazione della circonferenza richiesta come:

π:(x4)²+(y+7)²=5²

 

L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.

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