Funzioni polinomiali ed integrali. Generalizzazione.

Teorema:

Siano f(x)=f(x), P(x),Q(x) e K(x) delle funzioni polinomiali, allora se la funzione g(x) integranda è del tipo f(x)P(x) si ha che la sua primitiva risulta essere G(x)=(Q(x))(f(x)), ove i coefficienti di Q(x) sono definiti dalla relazione K(x)=P(x)K(x).

Dimostrazione:

Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale è noto che vi è un legame di derivazione tra l’insieme delle primitive e la funzione integranda.

Supponendo che G(x)=Q(x)f(x), si ha che:

[Q(x)f(x)]=K(x)f(x)+K(x)f(x)=P(x)f(x)=g(x), ossia

f(x)(P(x)K(x))=K(x)f(x)

Dato che per ipotesi f(x)=f(x), si ha per principio d’identità:

P(x)=K(x)+K(x)

K(x)=P(x)K(x)

QED

Applicazione:

Si risolva il seguente integrale indefinito: int(3x²34x+96)e3xdx.

Sapendo che la primitiva è della forma Q(x)f(x)+c e sapendo che l’insieme delle primitive di e3x è frace3x3+c, si ha che P(x)=3K(x)+K(x).

int(3x²34x+96)e3xdx=e3xQ(x)+c

Sapendo che il generico polinomio K(x) presenta necessariamente il medesimo grado di P(x) e Q(x), si arriva all’identità:

3x²34x+96=3ax²+3bx+3c+2ax+b=3ax²+(3b+2a)x+b+3c la quale implica a=1,b=12,c=36

Si ha dunque che Q(x)=x²12x+36, quindi:

int(3x²34x+96)e3xdx=e3x(x²12x+36)+c.

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