Teorema:
Siano $f(x)=f'(x)$, $P(x), Q(x)$ e $K(x)$ delle funzioni polinomiali, allora se la funzione $g(x)$ integranda è del tipo $f(x)P(x)$ si ha che la sua primitiva risulta essere $G(x)=(Q(x))(f(x))$, ove i coefficienti di $Q(x)$ sono definiti dalla relazione $K(x)=P(x)-K'(x)$.
Dimostrazione:
Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale è noto che vi è un legame di derivazione tra l’insieme delle primitive e la funzione integranda.
Supponendo che $G(x)=Q(x)f(x)$, si ha che:
$[Q(x)f(x)]’=K'(x)f(x)+K(x)f'(x)=P(x)f(x)=g(x)$, ossia
$f(x)(P(x)-K'(x))=K(x)f'(x)$
Dato che per ipotesi $f(x)=f'(x)$, si ha per principio d’identità:
$P(x)=K(x)+K'(x)$
$K(x)=P(x)-K'(x)$
QED
Applicazione:
Si risolva il seguente integrale indefinito: $int (3x²-34x+96)e^{3x}dx$.
Sapendo che la primitiva è della forma $Q(x)f(x)+c$ e sapendo che l’insieme delle primitive di $e^{3x}$ è $frac{e^{3x}}{3}+c$, si ha che $P(x)=3K(x)+K'(x)$.
$int (3x²-34x+96)e^{3x}dx=e^{3x}Q(x)+c$
Sapendo che il generico polinomio $K(x)$ presenta necessariamente il medesimo grado di $P(x)$ e $Q(x)$, si arriva all’identità:
$3x²-34x+96=3ax²+3bx+3c+2ax+b=3ax²+(3b+2a)x+b+3c$ la quale implica $a=1, b=-12, c=36$
Si ha dunque che $Q(x)=x²-12x+36$, quindi:
$int (3x²-34x+96)e^{3x}dx=e^{3x}(x²-12x+36)+c$.