- Formula della Probabilità Totale.
Sia S lo spazio campione e A un suo sottoinsieme (evento).
Se (E1… En) é una partizione di S, ovvero un set di sottoinsiemi (eventi) non vuoti per i quali
Ei & Ej = { } per ogni coppia (i,j) di indici distinti
U_k:1->n Ek = S
allora
Pr [A] = Pr [A & S] = Pr [ A & U_k:1->n Ek ] = Pr [U_k:1->n (A & Ek) ] =
= S_k:1->n Pr [ A & Ek ] = S_k:1->n Pr [ A/Ek ]*Pr [Ek]
in questi passaggi si é tenuto conto del fatto che
Ei & Ej = { } => (A & Ei) & (A & Ej ) = { }
e quindi si può usare la somma
e inoltre che essendo per definizione Pr [A/Ek] = Pr [A & Ek] / Pr [Ek]
risulta pure Pr [A & Ek ] = Pr [A/Ek] * Pr [Ek] per ogni k da 1 a n.
Con qualche adattamento, e usando gli integrali, la formula ora dimostrata
può essere utilizzata anche sul continuo.
2) La regola di Bayes
Partiamo dalla definizione di probabilità condizionata
Pr [A/B] = Pr [A & B]/Pr [B] se Pr [B] =/= 0
scambiando i ruoli di A e B
Pr [B/A] = Pr [B & A] / Pr [A] se Pr [A] =/= 0
Essendo l’intersezione commutativa, per proprietà transitiva si trae subito
Pr [A&B] = Pr [A/B] * Pr [B] = Pr[B/A]*Pr[A]
da cui infine
Pr [B/A] = Pr[A/B] * Pr[B]/Pr[A].