Formula della Probabilità Totale e Regola di Bayes

  1. Formula della Probabilità Totale.

Sia S lo spazio campione e A un suo sottoinsieme (evento).

Se (E1… En) é una partizione di S, ovvero un set di sottoinsiemi (eventi) non vuoti per i quali

Ei & Ej = { } per ogni coppia (i,j) di indici distinti

U_k:1->n  Ek = S

allora

Pr [A] = Pr [A & S] = Pr [ A & U_k:1->n Ek ] = Pr [U_k:1->n (A & Ek) ] =

= S_k:1->n  Pr [ A & Ek ] = S_k:1->n  Pr [ A/Ek ]*Pr [Ek]

in questi passaggi si é tenuto conto del fatto che

Ei & Ej = { } =>   (A & Ei) & (A & Ej ) = { }

e quindi si può usare la somma

e inoltre che essendo per definizione Pr [A/Ek] = Pr [A & Ek] / Pr [Ek]

risulta pure Pr [A & Ek ] = Pr [A/Ek] * Pr [Ek] per ogni k da 1 a n.

Con qualche adattamento, e usando gli integrali, la formula ora dimostrata

può essere utilizzata anche sul continuo.

2) La regola di Bayes

Partiamo dalla definizione di probabilità condizionata

Pr [A/B] = Pr [A & B]/Pr [B]   se Pr [B] =/= 0

scambiando i ruoli di A e B

Pr [B/A] = Pr [B & A] / Pr [A] se Pr [A] =/= 0

Essendo l’intersezione commutativa, per proprietà transitiva si trae subito

Pr [A&B] = Pr [A/B] * Pr [B] = Pr[B/A]*Pr[A]

da cui infine

Pr [B/A] = Pr[A/B] * Pr[B]/Pr[A].

 

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