Fasci di parabole: esercizio svolto

Problema:

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazione y=x²3x e y=x²x+frac32.

Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio tangente all’asse x.

Soluzione:

Il fascio di parabole può essere espresso, ricrivendo in forma implicita le equazioni delle parabole, come: Φγ:yx²+3x+k(y+x²+xfrac32)=0.

Esso presenta i punti base A(frac12,frac74) e B(frac32,frac94) ed è composto da parabole secanti tra loro.

Per determinare la parabola del fascio tangente all’asse x è necessario impostare il seguente sistema e trovare k tramite la condizione di tangenza che prevede il discriminante nullo:

{y=0,

yx²+3x+k(y+x²+xfrac32)=0} rightarrow =(k+3)²4(k1)(frac3k2)=9+7k²=0 rightarrow k²=frac97.

Poiché il quadrato di un numero reale è sempre nullo o positivo, non esiste alcun valore di k per cui una parabola del fascio risulta tangente all’asse delle ascisse.

L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.

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