Problema:
Considera il fascio di parabole di equazione
$y=(k-1)x²-2x+3$
Dopo aver determinato i punti base e studiato le caratteristiche del fascio, determina le parabole del fascio congruenti alla parabola di equazione $y=2x²$.
Soluzione:
Per comodità è opportuno riscrivere il fascio, raccogliendo k, come: $Φ_γ: k(x²)+(-x²-2x+3-y)=0$.
Per determinare i punti base è dunque necessario risolvere il seguente sistema:
{x²=0, y=-x²-2x+3} che risulta in (x, y)=(0, 3); da ciò è possibile dedurre che le parabole del fascio siano tangenti tra loro alla retta passante per quel punto e che solo due di esse siano congruenti alla parabola data.
Il coefficiente angolare della retta tangente alle parabole del fascio passante per il punto base è determinabile tramite la condizione di tangenza ∆=0 applicata al sistema tra l’equazione di una parabola del fascio e la retta $r:y=m(x)+3$ oppure tramite la derivata prima nel punto (0,3). La retta risulta dunque esser rappresentata dall’equazione $r: y=-2x+3$.
Le parabole congruenti ad $y=2x²$ altro non saranno che l’insieme di parabole della medesima equazione traslate tramite un certo vettore e le corrispettive ruotate. Si ha dunque che il coefficiente di secondo grado, in questo specifico caso, deve risultare ±2.
$k-1=±2 rightarrow k=3, k=-1$.
Le parabole richieste risultano dunque essere:
$γ_1: 2x²-2x+3=y$
$γ_2: -2x²-2x+3=y$.
L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.
