Problema:
Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazione $y=x²-3x$ e $y=-x²-x+frac{3}{2}$.
Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio tangente all’asse x.
Soluzione:
Il fascio di parabole può essere espresso, ricrivendo in forma implicita le equazioni delle parabole, come: $Φ_γ : y-x²+3x+k(y+x²+x-frac{3}{2})=0$.
Esso presenta i punti base $A(-frac{1}{2}, frac{7}{4})$ e $B(frac{3}{2}, -frac{9}{4})$ ed è composto da parabole secanti tra loro.
Per determinare la parabola del fascio tangente all’asse x è necessario impostare il seguente sistema e trovare k tramite la condizione di tangenza che prevede il discriminante nullo:
{y=0,
$y-x²+3x+k(y+x²+x-frac{3}{2})=0$} $rightarrow$ $∆=(k+3)²-4(k-1)(-frac{3k}{2})=9+7k²=0$ $rightarrow$ $k²=-frac{9}{7}$.
Poiché il quadrato di un numero reale è sempre nullo o positivo, non esiste alcun valore di k per cui una parabola del fascio risulta tangente all’asse delle ascisse.
L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.
